Dopplerjev pojav

Satcitananda
[like url=http://www.facebook.com/pages/Satcitananda-podjetje-za-izobra%C5%BEevanje/152488338142053 xfbml=false action=like layout=button_count height=30 width=100 div=true]

Objavljeno: 20. 10. 2013
Satcitananda

Zamislimo si, da stojimo ob avocesti, po kateri pripelje rešilni avto z vklopljeno sireno, kot kaže slika. Kako se bo spreminjala frekvenca, ki jo slišimo, ko se nam avto približuje in kako, ko se oddaljuje?

Dopplerjev pojav

Teorija

Mirujoč izvor zvoka oddaja harmonične zvočne valove. Sprejemnik – npr mikrofon ali uho valovanje pretvori v harmonično nihanje membrane ali bobniča. Če izvor valovanja in sprejemnik mirujeta, zazna sprejemnik zvok natančno enake frekvence, kot ga oddaja oddajnik. Sprejemnik zazna določeno frekvenco na osnovi periode – to je časa med dvema zgoščinama ali razredčinama, Recipročna vrednost periode pa je frekvenca. Gibanje izvora ali sprejemnika povzroči, da se spremeni čas (perioda) med dvema zgoščinama in s tem tudi frekvenca, ki jo slišimo. Temu pravimo Dopplerjev pojav.

Do dopplerjevega pojava pride, če se giblje sprejemnik zvoka in izvor miruje ali pa, da se giblje izvor zvoka in sprejemnik miruje.

Izvor zvoka miruje, sprejemnik se giblje

Sprejemnik se približuje mirujočemu izvoru zvoka. Iz slike se vidi, da je dolžina med dvema zgoščinama (valovna dolžina) razdeljena na pot, ki jo opravi sprejemnik in pot, ki jo opravi zvok:

Zapišmo to matematično:
$\lambda_{0}=c \cdot t_{1} + v \cdot t_{1}$

kjer je $t_{1}$ čas, v katerem dve zgoščini (razredčini, ali v splošnem periodi) zazna sprejemnik. Izvor miruje in oddaja ton frekvence $\nu_{0}$ odnosno periode $t_{0}$ . Iz slike odčitamo:

$\lambda_{0}=c\,t_{0}$

Izračunajmo frekvenco zvoka, ki jo zazna sprejemnik
$c\cdot t_{0}=c\cdot t_{1}+v\cdot t_{1}$
$c\cdot t_{0}=t_{1}\cdot (c+v)$

Upoštevamo, da sta periodi in frekvenci recipročni:
$\frac{c}{\nu_{0}}=\frac{c+v}{\nu_{1}}$
$\nu_{1}=\nu_{0}\,\frac{c+v}{c}$

Zapišimo v končni obliki:
$\nu_{1}=\nu_{0}\,(1+\frac{v}{c})$

Izpeljava primera, ko se sprejemnik oddaljuje od izvora, je identična. Razmik med valovnima hrbtoma se navidezno poveča, saj potuje sprejemnik v isto smer kot val. Frekvenca, ki jo slišimo, pa je zato nižja:

$\nu_{1}=\nu_{0}\,(1-\frac{v}{c})$

Izvor se giblje, sprejemnik miruje

Izvor zvoka se giblje, sprejemnik miruje

Izvor oddaja zvočne valove v obliki koncentričnih krogov. Gibanje izvora zvoka povzroči, da se premika tudi središče teh krogov. Zgleda, ko da se valovne fronte stiskajo v smeri gibanja izvora in raztezajo v obratni smeri gibanja – glej sliko!

Vzemimo primer, da se avto giba proti mirujočemu opazovalcu. Velja:

$\lambda_{1}=\lambda_{0}-v\,t_{0}$

Pri čemer je $\lambda_{0}$ valovna dolžina mirujočega izvora. Frekvenca, ki jo slišimo in nova valovna dolžina sta povezani preko enačbe:

$\lambda_{1}=c\,\nu_{1}$

Izračunajmo sedaj to frekvenco:
$\lambda_{1}=c\,t_{0}-v\,t_{0}$
$\lambda_{1}=(c-v)\,t_{0}$

Upoštevamo, da je
$\lambda_{1}=c/\nu_{1}$

in vstavimo v enačbo:
$\frac{c}{\nu_{1}}=(c-v)\,t_{0}$

Upoštevamo, da je
$t_{0}=1/\nu_{0}$
$\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{c-v}{\nu_{0}}$

Frekvenca, ki jo zazna sprejemnik je:
$\nu_{1}=\frac{\nu_{0}\,c}{c-v}$

Ali v drugi obliki:
$\nu_{1}=\frac{\nu_{0}}{1-\frac{v}{c}}$

Enako bi lahko izpeljali tudi za primer, ko se izvor oddaljuje od mirujočega sprejemnika:
$\nu_{1}=\frac{\nu_{0}}{1+\frac{v}{c}}$

Izvor miruje, sprejemnik se giblje:

$\nu_{1}=\nu_{0}\,(1\pm\frac{v}{c})$

Predznak + uporabimo, ki se sprejemnik približuje izvoru in -, ko se oddaljuje

Izvor se giblje, sprejemnik miruje:

$\nu_{1}=\frac{\nu_{0}}{1\mp\frac{v}{c}}$

Predznak – uporabimo, ko se izvor približuje sprejemniku in +, če se oddaljuje.

Naloga

Zamislimo si, da stojimo v razdalji 50 m od ovtoceste, po kateri pelje mimo nas rešilec z vklopljeno sireno, kot kaže naslovna slika. Njegova hitrost je 100 km/h, hitrost zvoka pa 340 m/s. Kako se spreminja frekvenca, ki jo slišimo, ko pelje mimo nas?

$b=100\,m$
$v_{x}=100\,km/h=28\,m/s$
$c=340\,m/s$