Plavanje po valoviti vodi

[like url=http://www.facebook.com/pages/Satcitananda-podjetje-za-izobra%C5%BEevanje/152488338142053 xfbml=false action=like layout=button_count height=30 width=100 div=true]

Izdano 30/05/2014
Satcitananda

Naloga:

Plavalec

Plavalec plava po globoki valoviti vodi. Če bi plaval po mirni vodi, bi bila njegova hitrost 0,8 m/s. Kolikšna je njegova povprečna hitrost plavanja po valoviti vodi, če je dolžina vala 15 m, njegova amplituda pa 0,8 m. Plavalec plava v isto smer, kot potujejo valovi.

Podatki:

$v_{pl}=0{,}8\,m/s$
$\lambda=15\,m$
$y_{o}=0{,}8\,m$
$\bar{v}=?$

Rešitev

Valovanje vode je posebna oblika težnostnega valovanja. Voda niha zaradi potencialne energije, ki prehaja v kinetično in nazaj v potencialno – podobno kot pri nitnem nihalu. Posledica nihanja so valovi. Valovi so le približno sinusni in še to le v primeru, ko je voda globoka v primerjavi z valovno dolžino in ko je amplituda vala majhna v primerjavi z valovno dolžino. V tem primeru lahko predpostavimo, da delci vode krožijo, kot kaže slika.

potujoči val na vodni gladini Slika 2 Sinusni potujoči valovi na vodni gladini. Val potuje v smeri osi x s hitrostjo c.

Hitrost in frekvenca valovanja

Najprej napišimo enačbo za hitrost valovanja na vodni gladini globoke vode (Ref. 1):

$c=\sqrt{\frac{g\,\lambda}{2\,\pi}}$

kjer je g gravitacijski pospešek.

V našem primeru je hitrost valovanja:

$c=\sqrt{\frac{10\,m\,15\,m}{s^{2}\,2\,\pi}}=4{,}9\,m/s$

Frekvenco, hitrost in valovno dolžino valovanja povezuje enačba:

$\nu=\frac{c}{\lambda}$

Izračunajmo jo:

$\nu=\frac{4{,}9\,m}{s\,15\,m}=0{,}33\,Hz$

Obodna hitrost kroženja vodnih delcev

Sedaj pa izračunajmo obodno hitrost kroženja delcev vode. Iz slike 2 vidimo, da je obodna hitrost v zgornji polovici valovne dolžine (kjer je greben vala) usmerjena v isto smer, kot potuje val, v spodnji polovici valovne dolžine (dolini vala) pa v nasprotno smer.

Obodna hitrost kroženja delca vode je:

$v_{0}=\omega \,y_{0}=2\,\pi\,\nu\,y_{0}$

kjer je kotna hitrost:

$\omega=2\,\pi\,\nu$

Izračunajmo obodno hitrost:

$v_{0}=2\,\pi\,0{,}33\,s^{-1}\,0{,}8\,m=1{,}7\,m/s$

Opazujmo sedaj samo zgornjo polovico vala (polovico valovne dolžine) – rezultat je enak za spodnjo polovico vala, le smer gibanja delcev bo obrnjena.

Slika 3 Projekcija obodne hitrosti kroženja vala na x os

Zanima nas samo tista komponenta obodne hitrosti, ki je usmerjena v smeri osi x, torej komponenta, ki “pomaga plavalcu” pri plavanju.
$v_{ox}=v_{o}sin\varphi$

kjer je

$\varphi =\omega\, t$

Povprečno hitrost v intervalu od o do $\pi$ je:
$v_{xpov}=\frac{1}{\pi}\,v_{o}\,\int_{0}^{\pi}sin\varphi \,d\varphi$

Izračunamo integral in vstavimo meje. Dobimo:
$v_{xpov}=\frac{2}{\pi}\,v_{o}$

Vstavimo podatke in izračunamo:
$v_{xpov}=\frac{2}{\pi}\,1{,}7\,m/s=1{,}1\,m/s$

Izračun časa, ko plava plavalec po grebenu vala in po dolini vala

Če bi plavalec, ki mu na grebenu vala “pomaga” hitrost vrtenja vode, plaval enako hitro, kot je hitrost vala, bi ostal vedno na grebenu. Val mu bi neprestano pomagal večati plavalno hitrost. Če je val hitrejši, prehiti plavalca. Kljub temu lahko pričakujemo, da se bo plavalec dalj časa zadržal na zgornji polovici vala, kot na spodnji.

Zgornjo polovico valovne dolžine bo preplaval v času:
$t_{1}=\frac{\lambda}{2\,(c-v_{pl}-v_{xpov})}$

Upoštevali smo, da se povprečna hitrost kroženja v smeri x v zgornji polovici vala prišteje plavalcu, ki prav tako plava v smer osi x.

Izračunamo:
$t_{1}=\frac{15\,m\,s}{2\,(4{,}9-0{,}8-1{,}1)m}=2{,}5\,s$

Plaval bo s hitrostjo:
$v_{p1}=v_{pl}+v_{xpov}=0{,}8\,m/s+1{,}1\,m/s=1{,}9\,m/s$

in naredil razdaljo:
$d_{1}=v_{p1}\cdot t_{1}=4{,}75\,m$

Podobno izračunamo za spodnjo polovico vala, ko koženje vode upočasni plavalca:
$t_{2}=\frac{\lambda}{2\,(c-v_{pl}+v_{xpov})}$
$t_{2}=\frac{15\,m\,s}{2\,(4{,}9-0{,}8+1{,}1)m}=1{,}4\,s$

Plaval bo s hitrostjo:
$v_{p2}=v_{pl}-v_{xpov}=0{,}8\,m/s-1{,}1\,m/s=-0{,}3\,m/s$

in naredil razdaljo:
$d_{2}=v_{p2}\cdot t_{2}=-0{,}42\,m$

Izračun povprečne hitrosti plavalca

Povprečna hitrost plavalca je vsota obeh razdalj deljena s skupnim časom:
$\bar{v}=\frac{d_{1}+d_{2}}{t_{1}+t_{2}}$
Vstavimo podatke in izračunamo:
$\bar{v}=\frac{4{,}75\,m-0{,}42\,m}{2{,}5\,s+1{,}4\,s}=1{,}1\,m/s$

Rezultat

V smeri valov bo plaval 37% hitreje kot bi plaval v mirni vodi. Podobno bi lahko izračunali hitrost plavanja proti valovom. V tem primeru bi bila povprečna hitrost plavalca 0,6 m/s.

Reference:

1. Rudolf Kladnik: Energija, toplota, zvok in svetloba, Fizika za srednješolce, DZS, Ljubljana 1997

Satcitananda - Inštrukcije Riki

Šola učenja z najdaljšo tradicijo

Inštrukcije