Stirlingov toplotni motor

Stirlingov toplotni motor je toplotni stroj. Zrak (ali kateri drugi plin) kroži v zaprtem sistemu. Za svoje delovanje potrebuje temperaturno razliko, ki pa je lahko v nekaterih izvedbah zelo majhna. Njegova konstrukcija je preprosta. Ne potrebuje ventilov, ni izgorevanja goriva znotraj sistema, izkoristek je razmeroma visok. Ker ni eksplozij goriva, je njegovo delovanje skoraj neslišno.

Uporablja se v hladilnih sistemih, avtonomnih sistemih, kjer nas oskrboje z električno energijo, hkrati pa lahko tudi segrevamo prostor.

Motor lahko deluje lahko tudi kot hladilnik ali toplotna črpalka. Stirlingov motor je tudi možno v raznih izvedbah praktično realizirati. Znane so alfa, beta in gama izvedbe Stirlingovega motorja – glej film.

Krožne spremembe Stirlingovega motorja

Stirlingov motor deluje na zrak in za njega približno veljajo plinske enačbe, zato je primeren za proučevanje krožnih sprememb. Vse spremembe se dogajajo izotermno pri dveh temperaturah – višji $T_{1}$ in nižji $T_{2}$ , in izohorno pri dveh prostorninah $V_{1}$ in $V_{2}$ – glej sliko 1.

Slika 1: krožne spremembe Stirlingovega motorja

Opišimo proces, ki je shematično prikazan na sliki 1:

Prehod iz točke 1 v točko 2

Zrak se s prvotnim volumnom $V_{1}$ pri stalni temperaturi $T_{1}$ (torej izotermno) razpne do volumna $V_{2}$ . Pri tem opravi delo $A_{1}$ .

Skupno delo, ki ga zrak opravi izračunamo z enačbo:

$A=pV$

Problem je, ker se spreminjata tako volumen kot tlak. Take vrste spremembe računamo z integrali. Bralcem, ki integrale poznajo, je zato namenjen izračun v naslednjem podpoglavju, v tem poglavju pa se bomo omejili na bistve točke izotermne spremembe.

Kot zanimivost naj povemo, da je opravljeno delo pravzaprav enako ploščini lika pod rdečo krivuljo (ploščina lika je rdeče šrafirana). Delo je pri tem negativno, saj na račun dela odvzemamo energijo zraku – prvi zakon termodinamike.

Izračunajmo delo:

$\Delta A=-p(V)\,\Delta V$

Uporabimo plinsko enačbo:

$p(V)=\frac{n\,R\,T_{1}}{V}$

$\Delta A=-n\,R\,T_{1}\,\frac{\Delta V}{V}$

Zares na tem koraku integriramo (glej naslednje podpoglavje) in dobimo:

$A_{1}=-n\,R\,T_{1}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Pomembna ugotovitev izpeljave je, da je delo tlaka sorazmerno temperaturi, pri kateri se spremembe dogajajo:

$A_{1}=-n\,R\,T_{1}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Prehod iz točke 2 v točko 3

Volumen se ni spremenil (izohorna sprememba), padla pa je temperatura iz $T_{1}$ na $T_{2}$ . Zaradi padca temperature pri enakem volumnu je padel tudi tlak.

Prehod iz točke 3 v točko 4

Prehod je podoben prehodu iz točke 1 v 2, le da se sedaj zrak pri stalni nižji temperaturi $T_{2}$ stiska. Delo, ki ga opravi plin (zrak) je pozitivno, saj vrača toploto zraku. Izračunamo ga lahko po enaki enačbi:

$A_{2}=n\,R\,T_{2}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Ker se proces dogaja na nižji temperaturi $T_{2}$ je delo, ki ga opravi zrak pri stiskanju manjše od dela, ki ga opravi zrak med razpenjanjem pri višji temperaturi. Po velikosti je enako ploščini lika pod modro krivuljo (modro šrafirano področje na sliki 1).

Razlika opravljeni del je koristno delo (sivo področje na sliki 1):

$A=A_{1}-A_{2}=n\,R\,(T_{1}-T_{2})\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Prehod iz točke 4 v točko 1

Zrak se segreva pri stalnem volumnu $V_{1}$ , tlak naraste na prvotno vrednost.

Med izotermno spremembo se notranja energija ne spremeninja. Po prvem zakonu termodinamike to pomeni, kolikor dela prejme snov, toliko toplote tudi odda:

$A=-Q$

Zapišimo enačbi za obe izotermni spremembi in ju zdelimo:

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}}$

Vstavimo enačbi:

$Q_{1}=-A_{1}=n\,R\,T_{1}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

$Q_{2}=-A_{2}=n\,R\,T_{2}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

$\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{-n\,R\,T_{1}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}}{-n\,R\,T_{2}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}}$

Okrajšamo:

$\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}$

Izkoristek Stirlingovega stroja je teoretično enak idealnemu izkoristku:

$\eta =1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$

Računanje dela tlaka s pomočjo integrala

To poglavje je namenjeno učencem, ki so že osvojili [[Določeni integral | integrale]]. Učenci, ki ne poznajo integralov lahko to poglavje brez škode preskočijo.

Računanja ploščine pod grafom funkcije kot je nakazano na sliki 2 se lotim z integralom. Pri tem $\Delta$ , ki je simbol za “veliko razliko” (natančneje: ne-infinitezimalno razliko) zamenjamo z neskončno majhno razliko, ki jo označimo z d – diferencial]. Enačba (1), ki jo navadno uporabimo v srednješolski fiziki in smo jo spoznali v prejšnjem poglavju:

$\Delta A=-n\,R\,T_{1}\,\frac{\Delta V}{V}$

se tako spremeni v enačbo, ki je matematično pravilnejša:

$dA=-n\,R\,T_{1}\,\frac{dV}{V}$

Izračunajmo delo $A$ :

$d A=-n\,R\,T_{1}\,\frac{d\,V}{V}$

Celotno delo dobimo tako, da diferenciale dela seštejemo – integriramo v mejah od $V_{1}$ do $V_{2}$ :

$A=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}\,n\,R\,T_{1}\,\frac{d\,V}{V}$

Vse konstantne faktorje zapišemo pred integral:

$A=-n\,R\,T_{1}\,\int_{V_{1}}^{V_{2}}\,\frac{d\,V}{V}$

Izraz integriramo – tabelo osnovnih integralov, v mejah od $V_{1}$ do $V_{2}$ :

$A=-n\,R\,T_{1}\,\ln{V}\,|_{V_{1}}^{V_{2}}$

Vstavimo zgornjo in spodnjo mejo ter odštejemo:

$A=-n\,R\,T_{1}\,(\ln{V_{2}}-\ln{V_{1}})$

[ge:explainNextStepCell]Uporabimo pravilo za logaritem kvacienta:

$A=-n\,R\,T_{1}\,\ln{\frac{V_{2}}{V_{1}}}$

Izvedba Stirlingov motorja

Poglejmo, kako v praksi izgleda Stirlingov motor. Izbrana je gama izvedba. Preprosto izdelavo modela tega motorja si lahko ogledamo na:

Kako izdelam Stirlingov motor – YouTube.

Slika 2: izvedba Stirlingovega motorja

Opis Stirlingovega motorja:

Delovni bat se nahaja v delovnem valju.
Regulacijski bat se nahaja v regulacijskem valju.
Regulacijski bat ima veliko toplotno vztrajnost (se počasi segreva / ohlaja). V valj je vložen ohlapno, tako da lahko zrak prosto prehaja iz ene na drugo stran bata.
Regulacijski valj ima na sprednjem delu hladilna rebra, na zadnjem delu ga segrevamo npr. s pomočjo plinskega gorilnika.
Oba bata sta vezana na vztrajnik s faznim zamikom $90^{\circ}C$ , kot kaže slika 2.

Opišimo proces, ki je shematično prikazan na sliki 2. Pri tem opisujemo idealne cikle; v praksi se cikli malo razlikujejo od opisa:

Slika 2 je praktična izvedba slike 1. Prehodi, ki jih bomo opisali so enaki prehodom, ki smo jih opisali na sliki 1, le da bomo tokrat opisovali prehode na primeru praktične izvedbe motorja.

Prehod iz točke 1 v točko 2 (po sliki 1)

Regulacijski bat je najprej v točki A, kjer prekriva hladilna rebra. Zrak je izrinjen v vroči – ogrevan prostor desno od regulacijskega valja po sliki 3. Zrak se dodatno segreva, razpenja in prehaja mimo regulacijskega valja proti delovnemu valju, kjer odriva valj iz točke D proti C. Volumen se veča. V kolikor ne bi dodajali toplote, bi se zrak zaradi razpenjanja ohlajal, tako pa ostaja približno na enaki temperaturi $T_{1}$ – izotermna sprememba.

Valj torej sprejema toploto $Q_{1}$ in opravlja delo $A_{1}$ , kot smo ga izračunali v prejšnjem poglavju.

Prehod iz točke 2 v točko 3 (po sliki 1)

Regulacijski bat se premakne v točko B, kjer izrine vroč zrak. Ta se pretoči v del regulacijskega valja, kjer so hladilna rebra ter se ohladi. Delovni bat je v točki C. Volumen se ni spremenil, padla pa je temperatura iz $T_{1}$ na $T_{2}$ . Zaradi padca temperature pri enakem volumnu je padel tudi tlak.

Prehod iz točke 3 v točko 4 (po sliki 1)

Regulacijski bat je v točki B po sliki 3. Zrak je pretežno v hladnem delu regulaciskega valja. Zaradi vztrajnika se premika delovni bat iz točke C v točko D. Zrak se stiska, volumen se mu manjša in tlak veča. Da se ne bi zaradi stiskanja segreval, poskrbi dodatno hlajenje preko hladilnih reber.

Prehod iz točke 4 v točko 1 (po sliki 1)

Delovni bat je v položaju D, regulacijski pa se je premaknil v pložaj A in izrinil hladen zrak v ogrevan del regulacijskega valja. Tam se segreva pri stalnem volumnu, tlak naraste na prvotno vrednost.

Primer

Stirlingov toplotni motor na eni strani segrevamo s plinskim gorilnikom na temperaturo $300^{\circ}C$ . Hladilna rebra ohlajajo zrak v hladnem delu regulacijskega valja na $40^{\circ}C$ . Kakšen je lahko izkoristek tega motorja v odstotkih?