II Newtonov zakon gravitacije – izračun mase in gostote Sonca in Zemlje | Satcitananda – Inštrukcije Riki

II Newtonov zakon gravitacije – izračun mase in gostote Sonca in Zemlje

Objavljeno: 05. 05. 2013
Satcitananda

II Newtonov gravitacije govori o privlačni sili med dvema masamo.  Sila je tem večja, čim večji sta masi in čim manjši je kvadrat razdalje med njima. Koeficient proporcionalnosti je gravitacijska konstanta G:

F_{g}=G\frac{m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}

Gravitacijska konstanta G je:

G=6,672\cdot 10^{-11}\,N\,m^{2}\,kg^{-2}

Naj bo ena od obeh mas masa planeta (npr. Zemlje) ali zvezde (npr. Sonca). Pišimo jo z velikim M. Planet ali zvezda privlači drugo maso m, na razdalji r.

Dobimo

F_{g}=\frac{G\,M}{r^{2}}m=g(r)\cdot m

Tu je g(r) gravitacijski pospešek, ki ga povzroča masa M na razdalji r od njenega težišča.

g(r)=\frac{G\,M}{r^{2}}           (1)

Naloga:

Podana je razdalja r med Soncem in Zemljo ter radija Sonca In Zemlje. Znan je tudi obhodni čas Zemlje okoli Sonca. S pomočjo II Newtonovega zakona gravitacije izračunaj maso in povprečno gostoto Sonca in Zemlje.

II Newtonov zakon gravitacije
Sonce in Zemlja

Podatki:

r=150\cdot 10^{6}\,km

R_{s}=0{,}696\cdot 10^{6}\,km

R_{z}=6400\,km

t_{0}=365\, dni=365\cdot 24\cdot 3600\,s

M_{s}=?

\varrho _{s}=?

M_{z}=?

\varrho _{z}=?

Masa Sonca

Maso Sonca dobimo, če izenačimo gravitacijski pospešek na razdalji r od Sonca z radialnim pospeškom Zemlje, ko kroži okoli Sonca.

 g(r)=a_{r}                  (2)

Spomnimo se enačbe za radialni pospešek:

a_{r}=\omega \,v_{0}=\omega^{2}r=\frac{4\cdot \pi ^{2}}{t_{0}^{2}}r                 (3)

Enačbo (1) in (3) vstavimo v (2):

\frac{G\,M_{s}}{r^{2}}=\frac{4\cdot \pi ^{2}}{t_{0}^{2}}r

Preoblikujemo in izrazimo maso Sonca:

M_{s}=\frac{4\cdot \pi ^{2}\,r^{3}}{G\,t_{0}^{2}}

Vstavimo podatke in izračunamo:

M_{s}=2\cdot 10^{\,30}\,kg

Gostota Sonca

Gostota je količnik mase in prostornine. Maso Sonca smo že izračunali, prostornina pa je:

V_{s}=\frac{4\cdot \pi \,R_{s}^{3}}{3}

Vstavimo podatke in izračunamo:

V_{s}=1{,}4\cdot 10^{\,27}\,m^{3}

Izračunamo še povrečno gostoto Sonca:

\varrho _{s}=\frac{M_{s}}{V_{s}}=1430\,kg/m^{3}

Masa Zemlje

Izračunamo jo s preoblikovanjem enačbe (1):

g_{0}=\frac{G\,M_{z}}{R_{z}^{2}}

in

M_{z}=\frac{g_{0}\,R_{z}^{2}}{G}

Vstavimo podatke in vrednost za gravitacijski pospešek na površini Zemlje ter izračunamo:

M_{z}=6{,}1\cdot 10^{\,24}\,kg

Gostota Zemlje

Gostota je količnik mase in prostornine. Maso Zemlje smo že izračunali, prostornina pa je:

V_{z}=\frac{4\cdot \pi \,R_{z}^{3}}{3}

Vstavimo podatke in izračunamo:

V_{z}=1{,}1\cdot 10^{\,21}\,m^{3}

Izračunamo še povrečno gostoto Zemlje:

\varrho _{z}=\frac{M_{z}}{V_{z}}=5545\,kg/m^{3}

 

Vam naloga ni bila jasna? Želite pomoč?
Pokličite GSM: 041 412 998
Inštrukcije fizike