Moč Sonca in geotermalna moč – primerjava

Objavljeno: 07. 09. 2013, revizija 10. 06. 2013
Satcitananda

Izračunajmo celotno moč, ki jo seva Sonce na Zemlja in jo primerjajmo z močjo, ki jo povzročajo geotermalni procesi v notranjosti Zemlje. Kolikšno moč lahko dobimo od Sonca in kolikšno od geotermalnih procesov v Zemlji?

a) Sevalna temperatura Sonca je 5760 K, radij Sonca 0,696 milionov km, radij Zemlje 6400 km in oddaljenost med Soncem in Zemljo 149,6 milionov km. Kolikšno moč seva Sonce na Zemljo? Kolikšna bi bila povprečna temperatura Zemlje, če ne bi bilo učinka tople grede?

b) Povprečna toplotna prevodnost plašča Zemlje je 2,7 W/mK. Temperaturni gradient je 1 K na 40 m. Kolišna je povprečna toplotna moč na površini Zemlje vsled geotermalnih procesov v notranjosti Zemlje. Kolikšna bi bila temperatura tik pod površino Zemlje vsled teh procesov?

Primer a

Računamo sevalno moč, ki jo sprejema Zemlja od Sonca.

Podatki so:

\sigma =5{,}67\cdot 10^{-8}\,W\,m^{-2}\,K^{-4}    Stefanova konstanta

T_{s}=5760\,K

R_{s}=0{,}696\cdot 10^{6}\,km=0{,}696\cdot 10^{9}\,m

R_{z}=6400\,km=6400\cdot 10^{3}\,m

r_{sz}=149{,}6\cdot 10^{6}\,km=149{,}6\cdot 10^{9}\,m

P_{sz}=?

T_{z}=?

Sevanje Sonca na Zemljo
Sonce obseva Zemljo na ploščini sredinjskega preseka

Rešitev:

Sonce seva moč, ki jo izračunamo po Stefanovem zakonu:

P_{s}=\sigma \,T_{s}^{4}\,4\pi \,R_{s} ^{2}

Gostota sevanja Sonca na oddaljenosti Zemlje je:

J=\frac{\sigma \,T_{s}^{4}\,4\pi \,R_{s} ^{2}}{4\,\pi r_{sz}^{2}}=\frac{\sigma \,T_{s}^{4}\,R_{s} ^{2}}{r_{sz}^{2}}=1{,}35\,\frac{kW}{m^{2}}

Ko računamo moč, ki jo sprejema Zemlja od Sonca, moramo upoštevati največji (sredinjski) presek Zemlje. Upoštevamo tudi, da se del moči odbije nazaj v vesolje. Faktor odbojnosti Zemlje a je približno 0,3.

P_{zs}=(1-a) \,J\,\pi \,R_{z} ^{2}=1{,}22\cdot 10^{17}\,W

 

Kolikšna bi bila temperatura Zemlje, če ne bi bilo učinka tople grede in ne drugih virov energije?

Zemlja sprejme toplotni tok (moč) Sonca na površini, ki je eneka ploščini največjega preseka skozi Zemljo in jo oddaja (seva) na celotni površini Zemlje. V termičnem ravnovesju sta obe moči enaki:

(1-a) \,P_{sz}=\epsilon \,P_{z}

Faktor a je odbojnosti. V našem primeru je 0,3. Faktor epsilon je emisivnost. Za črno telo je epsilon enak ena, svetla suha tla imajo epsilon 0,90; temna in mokra tla pa 0,98. Emisivnost vode je med 0,92 in 0,97. Pri našem izračunu vzamemo emisivnost 0,94. 

(1-a)\, J\,\pi R_{z}^{2}=\epsilon \,\sigma\,T_{z}^{4}\,4\,\pi R_{z}^{2}

Izrazimo temperaturo Zemlje in jo izračunamo:

T_{z}=(\frac{(1-a)\cdot J}{\epsilon \,4\,\sigma})^{1/4}=258\,K=-15^{0}\,C

Zaradi nizke sevalne temperature seva Zemlja drugačen spekter svetlobe kot Sonce. To so dolgovalovni  žarki valovne dolžine od 3 do 100 mikrometre. Atmosfera slabo prepušča te valove. Toplogredni plini (H2O, CO2, CH4, N2O, O3, …) ,  absorbirajo dolge valove in jih delno ponovno sevajo proti zemlji. Zaradi učinka tople grede je povprečna temperatura zemlje višja: +15 stopinj Celzija.

Primer b

Računamo geotermalno moč na površini Zemlje in površinsko temperaturo Zemlje vsled geotermalnih procesov.

Podatki so:

\lambda =2{,}7\,W/mK

\Delta \,h =40\,m

\Delta \,T =1\,K

R_{z}=6400\,km=6400\cdot 10^{3}\,m

P_{zg}=?

T_{zg}=?

Rešitev:

Toplotni tok je enak:

P=\frac{dQ}{dt}=\frac{\lambda \,S_{z}\,\Delta \,T}{\Delta \,h}

Temperaturni gradient pove, koliko se spremeni temperatura z globino in ga lahko odčitamo iz spodnjega grafa ali iz podatkov:


Temperaturni gradient Zemlje

\frac{\Delta \,T}{\Delta \,h}=0{,}025\,Km^{-1}
Izračunamo toplotni tok skozi celotno površino Zemlje:

P=\frac{\lambda \,4\,\pi \,R_{z}^{2}\,\Delta \,T}{\Delta \,h}=4{,}6\cdot 10^{13}\,W

Izračunamo še temperaturo na površju Zemlje:

T_{zg}=100^{0}C-\frac{\Delta \,T}{\Delta \,h}h

Podatke odčitamo iz grafa:

h=3{,}7\,km\, \Rightarrow \,T=100^{0}C

Izračunamo temperaturo:

T_{zg}=100^{0}C-0{,}025\,\frac{K}{m}\,3700\,m=7{,}5^{0}C

Diskusija

Razmerje med celotno močjo Sonca, s katero obseva Zemljo in toplotno močjo, ki prehaja na površino iz notranjosti Zemlje je:

\frac{P_{zs}}{P_{zg}}=3700

Brez učinka tople grede bi bila zaradi sevanja Sonca povprečna temperatura na Zemlji 6 stopinj Celzija. Malo pod površjem Zemlje je temperatura zaradi geotermalnih procesov približno 7,5 stopinj Celzija, kar lahko energetsko izkoristimo npr. za ogrevanje s toplotnimi črpalkami.

 

Vam naloga ni bila jasna? Želite pomoč?
Pokličite GSM: 041 412 998
Inštrukcije fizike