Fermatov zakon

Objavljeno: 17. 08. 2013
Satcitananda

Želimo priti iz točke A v točko B, kot kaže slika. Prvi del poti poteka po kopnem, drugi po vodi. Po kopnem lahko potujemo z višjo hitrostjo kot v vodi. Pod kašnim kotom glede na pravokotnico med kopnim in vodo moramo potovati na kopnem in pod kakšnim kotom v vodi?

Fermatov-zakon
Fermatov zakon

Rešitev:

Čas, potreben, da pridemo iz toče A v točko B je:
t=\frac{d_{1}}{v_{1}}+\frac{d_{2}}{v_{2}}=\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{y_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}{v_{2}}

Vstavimo:
x_{2}=s-x_{1}
kjer je s projekcija razdalj med obema točkoma glede na os x.

Dobimo:
t=\frac{d_{1}}{v_{1}}+\frac{d_{2}}{v_{2}}=\frac{\sqrt{y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{y_{2}^{2}+(s-x_{1})^{2}}}{v_{2}}

Minimum časa dobimo, ko prvi odvod funkcije časa po x izenačimo z nič. Dobimo:
\frac{dt}{dx_{1}}=\frac{2x_{1}}{2v_{1}\sqrt{y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}+\frac{-2(s-x_{1})}{2v_{2}\sqrt{y_{2}^{2}+(s-x_{1})^{2}}}=0

Uredimo in dobimo:
 \frac{x_{1}}{v_{1}\sqrt{y_{1}^{2}+x_{1}^{2}}}=\frac{(s-x_{1})}{v_{2}\sqrt{y_{2}^{2}+(s-x_{1})^{2}}}        (1)
\frac{x_{1}}{v_{1}d_{1}}=\frac{x_{2}}{v_{2}d_{2}}

Dobili smo Fermatov zakon, ki se glasi v končni obliki:
\frac{sin\alpha}{sin\beta}=\frac{v_{1}}{v_{2}}  

Zakon nam je znan iz valovne optike kot lomni zakon in se glasi: sinus vpadnega kota in sinus lomnega kota sta v istem razmerju kot hitrosti  v obeh medijih.           

 

Vam naloga ni bila jasna?
Pokličite GSM: 041 412 998
Inštrukcije fizike