Reševanje vezij s pomočjo sistemov enačb | Satcitananda – Inštrukcije Riki

Reševanje vezij s pomočjo sistemov enačb

Objavljeno: 09. 03. 2014
Satcitananda

 Povzetek
Na preprostem zgledu bomo spoznali naslednje metode reševanja uporovnih vezij:

  • Reševanje enač po 1. in 2. Kircoffovem zakonu – direktna metoda
  • Metoda superpozicije
  • Theveniniva metoda
  • Nortonova metoda
  • Metoda zančnih tokov
  • Metoda spojiščnih potencialov

Zgled:
Imamo dva napetostna generatorja vezana tako, kot kaže slika. Računamo tok skozi upornik R.

Podatki so:

U_{1}=2\,V
R_{n1}=1\,\Omega
U_{2}=4\,V
R_{n2}=2\,\Omega
R=5\,\Omega

I_{R}=?

 Sistem enačb po obeh Kirhoffovih zakonih

Napišemo tri enačbe – dve napetostni enačbi za dve sklenjeni zanki in tokovno enačbo za vozlišče ter izračunamo napetosti in tokove. Na shemi označimo smer opazovanja napetosti s puščico in označimo vse napetosti v smeri puščice kot pozitivne in v obratni smeri za negativne. Upoštevamo, da je vsota napetosti znotraj sklenjene zanke enaka nič. Prav tako označimo na shemi tudi smeri tokov v vozlišču. Dogovorimo se, da so pritekajoči tokovi pozitivni in odtekajoči tokovi negativni. Vsota tokov v spojišču ja enaka nič.

I_{1}+I_{2}-I_{R}=0
U_{1}-U_{R}-U_{n1}=0
U_{2}-U_{R}-U_{n2}=0

Iz prve enačbe izrazimo I_{2}:

I_{2}=I_{R}-I_{1}

Napetosti na uporih v drugi in tretji enačbi izrazimo s tokovi in upornostmi po Ohmovem zakonu:

U_{n1}=I_{1}\,R_{n1}
U_{n2}=I_{2}\,R_{n2}
U_{R}=I_{R}\,R

Vstavimo v sistem enačb in ga preoblikujemo:

U_{1}=I_{1}\,R_{n1}+I_{R}\,R/.2
U_{2}=(I_{R}-I_{1})\,R_{n2}+I_{R}\,R=-I_{1}\,R_{n2}+I_{R}(R+R_{n2})

Vstavimo podatke:

2\,V=I_{1}\,1\Omega+5)\Omega\cdot\,I_{R}/\cdot 2
4\,V=-I_{1}\,2\Omega+(5+2)\Omega\cdot\,I_{R}

Seštejemo enačbi:

8\,V=17\,\Omega\,I_{R}

in dobimo:

I_{R}=\frac{8\,V}{17\,\Omega}

Analiza vezij po različnih metodah: